Helicity & Vorticity

为什么 m = +1 与 m ≠ 1 不同？

m = +1：整体平面旋转不改变 γ。因此 Néel 与 Bloch，以及两种 Bloch 的差别，不能靠把整个图案在平面内转一下消去；它们可由“只转自旋”的操作联系。是否等能仍取决于模型对称性。

m ≠ 1：在这一理想径向 ansatz 中，改变 γ 可以由整体平面转动实现。若把任意整体旋转后可重合的图案视为同一形状，γ 就不再是额外独立的形状标签；相对于固定晶轴或边界，纹理取向仍是有意义的变量。不能无条件地说 helicity “没有物理意义”。

特别地，m = −1 时 γ′ = γ + 2α。两个 antiskyrmion 预设 γ = 0 和 π/2 的理想纹理相差 45° 整体旋转。这正是 2013 年综述 Fig. 1g 图注所说的旋转等价。m = +2 时变化为 −α，而 m = −2 时为 +3α。

几何上旋转后可重合，不自动意味着在给定材料中等能。要由这种联合旋转对称性保证等能，哈密顿量、边界和外场都必须保留它；非径向或畸变纹理也未必服从这一单参数变换关系。

方格晶格上的限制：C₄ 不等于连续旋转

若完整方格系统保留绕 z 的 C₄ 联合旋转，允许的对称转角是 α = nπ/2。对 m = −1，这给出 γ ∼ γ + π。于是四个常用值 {0, π/2, π, 3π/2} 分成 {0, π} 与 {π/2, 3π/2} 两组；这不意味着任意连续 γ 只有两个等价类，也不意味着 γ 只能取这四个值。具体各向异性可以选择其中某些取向。

同时，即使在离散方格上，只要仍保留独立的绕 z 自旋 U(1) 对称性，所有 γ 仍可由只转自旋的对称操作联系并保持等能。晶格离散性本身不足以解除 helicity 简并。

为什么在简单 skyrmion 中，二者常常只差一个符号？

对于本页 θ = θ(r)、Φ = mφ + γ 的参数化，Q = m[cos θ(0) − cos θ(∞)]/2。若核心与背景恰好反向，定义核心极性 p = Sᶻ(0) = ±1，便有 Q = mp。这里的 p 定义需与所读文献逐一核对。

因此，只有在固定核心、背景与符号约定后，m 才在这一参数化中唯一决定 Q。该关系不要求 θ(r) 单调，但并不意味着任意多核心或畸变纹理都由一个 m 和一个 p 完整描述。

极性的一个具体约定例子：若另定义 p̃ = [cos θ(∞) − cos θ(0)]/2，则在核心与背景反向时 p̃ = −p，其中本页 p = Sᶻ(0)。保持本页 Q 的积分定义不变，就应写 Q = −mp̃。比较文献时，极性和拓扑数的符号定义需要分别核对。

同一个 m，可以得到不同的 Q

表中各例都取 m = +1；对环状纹理，在面内投影非零的环上读取 m。Meron 的远处方向随方位角变化，不能把整条边界压成一个点，因此半整数 Q 不违反上面的整数条件。后两行是解析反例，不是当前画布提供的预设。

其余核查结论

• m = +1 时，γ = 0、π 是径向 Néel 型，γ = ±π/2 是两种切向 Bloch 型，二者的 m 相同。m = −1 时，相对径向角 γ − 2φ 随位置改变；在理想径向 ansatz 下，各 γ 的图案可由整体平面旋转联系，需与固定位置的自旋旋转区分。Fig. 1g 的图注明确指出这种几何等价。
• 保留绕 z 自旋旋转对称性的模型中，γ 连续简并。综述也说明相互作用会选择 helicity：例如其体型 DM 项选择特定 Bloch 手性，偶极相互作用可偏好两种 Bloch 型。中心反演对称性本身不保证 helicity 连续简并。
• Skyrmion 数是有向的净拓扑度，不总等于图中可见涡旋核心的个数。Skyrmion 晶体应对完整周期单胞积分；任意局部截取区域的积分不必是整数。

独立的笛卡尔网格积分验证了符号：在 [−1.25R, 1.25R]² 上，取 201²、401²、801² 网格，使用下方所列的中心差分与网格求和，对 m = ±1、±2，p = ±1，γ = 0、π/2，Q 均收敛到 mp。最大绝对误差依次为 2.424857 × 10⁻³、6.064725 × 10⁻⁴、1.516343 × 10⁻⁴；801² 时核心向下、m = +1、γ = 0 得到 −0.999947493。该核验由本笔记另行完成，不是综述报告的结果。

import numpy as np

def field(x,y,m,p,gamma):
    r=np.hypot(x,y);u=np.clip(r,0,1);s=3*u*u-2*u*u*u
    theta=np.pi*(1-s if p==-1 else s)
    phi=m*np.arctan2(y,x)+gamma
    return np.stack((np.sin(theta)*np.cos(phi),np.sin(theta)*np.sin(phi),np.cos(theta)),axis=-1)

def Q_on_grid(N,m,p,gamma):
    x=np.linspace(-1.25,1.25,N);h=x[1]-x[0]
    X,Y=np.meshgrid(x,x,indexing='xy');S=field(X,Y,m,p,gamma)
    dSdy,dSdx=np.gradient(S,h,h,axis=(0,1),edge_order=2)
    density=np.einsum('...i,...i->...',S,np.cross(dSdx,dSdy))
    return np.sum(density)*h*h/(4*np.pi)

for N in (201,401,801):
    vals=[(m,p,g,Q_on_grid(N,m,p,g)) for m in (1,-1,2,-2) for p in (-1,1) for g in (0,np.pi/2)]
    print(N,'max_error=',max(abs(q-m*p) for m,p,g,q in vals),'Q(m=1,p=-1,g=0)=',vals[0][-1])